Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC中点，连接EF，将矩形CDEF绕着点C逆时针旋转一定角度得到矩形CD′E′F′，点E′恰好落在AB边上，E′F′与BC交于点G
（1）求证：BE′=D′E′；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求△GF′C的周长．

Answer 1

考点：正方形的性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）连接CE′，CE，由旋转和全等三角形的性质即可证明BE′=D′E′；
（2）由旋转可知CF′=CF，∠F′=∠CFE=90°，进而可证明△BGE′≌△CGF′，由全等三角形的性质可得：F′G=BG，继而可得CG+F′G+CF′=CG+BG+CF=3．即△GF′C的周长是3．

解答：（1）证明：连接CE′，CE，由旋转可知，CE′=CE，D′E′=DE，
由正方形ABCD可得，CD=CB，∠D=∠B=90°，
在Rt△CDE和Rt△CBE′中，

CD=CB CE=CE′

∴Rt△CDE≌Rt△CBE′（HL），
∴DE=BE′，
∴BE′=D′E′．
（2）由旋转可知CF′=CF，∠F′=∠CFE=90°，
∴∠F′=∠B，
∵CF=DE，D′E′=DE，BE′=D′E′
∴CF′=BE′，
又∠BGE′=∠F′GC，
在△BGE′和△CGF′中，

∠B=∠F′ ∠BGE′=∠F′GC BE′=CF′

，
∴△BGE′≌△CGF′（AAS），
∴F′G=BG，
∴CG+F′G+CF′=CG+BG+CF=CB+

1

2

CB=2+1=3，
即△GF′C的周长是3．

点评：本题考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，是中考常见题型．