Question

已知：如图，AB、CD是⊙O的两条平行切线，A、C是切点，⊙O的另一条切线BD与
AB、CD分别相交于B、D两点．求证：BO⊥OD．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：如图，作OE⊥BD于E，根据切线的性质得点E为切点，再根据切线长定理得到OB平分∠ABE，OD平分∠CDE，则∠1=

1

2

∠ABD，∠2=

1

2

∠CDB，由AB∥CD，根据平行线的性质得∠ABD+∠CDB=180°，所以∠1+∠2=90°，则∠BOD=90°，然后根据垂径的定义得到结论．

解答：证明：如图，作OE⊥BD于E，
∵BD为⊙O的切线，
∴OE为⊙O的半径，即点E为切点，
∵AB、CD是⊙O的两条切线，
∴OB平分∠ABE，OD平分∠CDE，
∴∠1=

1

2

∠ABD，∠2=

1

2

∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BOD=90°，
∴BO⊥OD．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．