Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：

①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）40；（2）①不存在；②或或.

【解析】

∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，

∴S_ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

=，

所以PQ不平分梯形ABCD的面积；

②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QH⊥AB，垂足为H．

解得：，（不合题意舍去），

∴，

∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10﹣2t．

∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t﹣10．

∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

综上所述，或4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

考点：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．动点型．