Question

如图，抛物线与x轴交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转120⁰至OB的位置.

（1）点B在抛物线上;

（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

（2）存在。

如图2，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。

①若OB=OP，则2²+|y|²=4²，解得y=±，

当y=时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°。

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。

∴y=不符合题意，舍去。

∴点P的坐标为（2，）。

【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想的应用。