Question

如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，OB=，BF=BC。过点F作EF∥OB，交OA于点，点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO。若以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形，请求出所有点P的坐标。

Answer 1

解：∵点A是反比例函数在第一象限内的图象上的点，

            ∴可设A。

            ∵四边形OACB是平行四边形， BF=BC，∴F 。

            ∵点F是反比例函数在第一象限内的图象上的点，

            ∴。

            ∴A，F 。

            ∵EF∥OB，点P为直线EF上的一个动点，∴可设P。

            根据勾股定理，得OA²=，OP²=，AP²=。

当∠POA=90°时，有AP²= OA²+ OP²，即，

∴。

            综上所述，满足条件的点P的坐标为，，。

【考点】反比例函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。

【解析】先根据曲线上点的坐标与方程的关系和平行四边形的性质求出点A，F的坐标，再分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P₁，P₂；当∠PAO=90°时，求出P₃；当∠POA=90°时，求出P₄即可。