Question

如图，已知点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．问：在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：如图，连接CD、DE、EF、FC，

同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。

∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF是平行四边形。

假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，

设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n。

若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，

∴，即，化简得：m²=n²。

∴m=n，即矩形PMON为正方形。

∴点P为抛物线与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点。

联立，解得。

∴P₁（），P₂（）。

联立，解得。

∴P₃（3，﹣3），P₄（﹣1，1）。

∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（），P₂（），P₃（3，﹣3），P₄（﹣1，1）。

【考点】单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形、正方形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。