Question

如图，已知抛物线经过点A，B及原点O，顶点为C，直线OB为，点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：存在。

      

①若点P在第一象限，则，即，解得：x₁=2，x₂=。

均不合题意。

②若点P在第二象限，则，即，解得：x₁=，x₂=2（不合题意，舍去）。

当x=时，y=，即P（，）。

③若点P在第四象限，则，即，解得：x₁=2，x₂=。均不合题意。

（2）若△PMA∽△BOC，则，

①若点P在第一象限，则，即，解得：x₁=3，x₂=2（不合题意，舍去）。

当x=3时，y=3，即P（3，3）。

②若点P在第二象限，则，即，解得：x₁=，x₂=2（不合题意，舍去）。

当x=时，y=15，即P（，15）。

③若点P在第四象限，则，即，解得：x₁=，x₂=2。均不合题意。

综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，3）或（，15）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，分类思想的应用。