【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)证明:∠BAC=∠DAC.
(2)若∠BEC=∠ABE,试证明四边形ABCD是菱形.
【答案】证明见解析
【解析】
试题由AB=AD,CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC,由此可得∠BAC=∠DAC,再证△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD,结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE;
(2)由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC,由此可得AD=CD结合AB=AD,CB=CD可得AB=BC=CD=AD,即可得到四边形ABCD是菱形.
试题解析:
(1)在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,
在△ABF和△ADF中,
∵AB=AD,∠BAC=∠DAC,AF=AF,
∴△ABF≌△ADF,
∴∠AFB=∠AFD.
(2)证明:∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠ACD=∠CAD,
∴AD=CD,
∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
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【题目】如图,D为等边三角形ABC内的一点,DA=5,DB=4,DC=3,将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′,下列结论:①点D与点D′的距离为5;②∠ADC=150°;③△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到;④点D到CD′的距离为3;⑤S四边形ADCD′ =6+.其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是( )
A. 10B. 12C. 20D. 24
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【题目】规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论: ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
④若点(m,n)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
上述结论中正确的有( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
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【题目】已知等边△ABC的边长为4cm,点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;
点Q沿CA,AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s),
(1)如图(1),当x为何值时,PQ∥AB;
(2)如图(2),若PQ⊥AC,求x;
(3)如图(3),当点Q在AB上运动时,PQ与△ABC的高AD交于点O,OQ与OP是否总是相等?请说明理由.
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【题目】如图,点A.F、C.D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且
AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形,
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:①ab<0;②a+b+c<0;③b2>4ac;④3a+c<0.其中正确的是( )
A. ①④ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①②③
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【题目】我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点:H代表所有的水平移动,H1代表向右水平移动1个单位长度,H-1代表向左平移1个单位长度;S代表上下移动,S1代表向上移动1个单位长度,S-1代表向下移动1个单位长度,表示点P在网格内先一次性水平移动,在此基础上再一次性上下移动;表示点P在网格内先一次性上下移动,在此基础上再一次性水平移动.
(1)如图,在网格中标出移动后所到达的目标点;
(2)如图,在网格中的点B到达目标点A,写出点B的移动方法________________;
(3)如图,在网格内有格点线段AC,现需要由点A出发,到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形,在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.
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【题目】甲、乙两地间的直线公路长为千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶.小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计).最后两车同时到达甲地,已知两车距各自出发地的距离(千米)与轿车所用的时间(小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)货车的速度是_______千米/小时;轿车的速度是_______千米/小时;值为_______.
(2)求轿车距其出发地的距离(千米)与所用时间(小时)之间的函数关系式并写出自变量的取值范围;
(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距千米.
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