Question

【题目】如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：①点D与点D′的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；④点D到CD′的距离为3；⑤S四边形ADCD′ ＝6＋．其中正确的有(　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

连结DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于四边形ADCD′的面积=△ADD′的面积+△D′DC的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．

解：连结DD′，如图，

∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′为等边三角形，
∴DD′=5，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵32+42=52，
∴DC2+D′C2=DD′2，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∵△ADD′为等边三角形，
∴∠ADD′=60°，
∴∠ADC≠150°，所以②错误；
∵∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；

∵S△ADD′+S△D′DC

＝6＋所以⑤错误．

故选：B．