Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）图中有哪两个三角形相似？
（2）求证：AC²=AD•AB；BC²=BD•BA；CD²=AD•BD；
（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；
（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；
（5）求证：AC•BC=AB•CD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可知∠A=∠DCB，∠ACD=∠B，可证得△ACD∽△ABC∽△CDB；
（2）利用（1）可得到

AC

AD

=

AB

AC

，

BC

BA

=

BD

BC

，

CD

AD

=

BD

CD

，可证得结论；
（3）代入（2）中结论可求得；
（4）同（3）代入（2）可求得；
（5）利用面积相等即可得出结论．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB，
∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△ACD∽△CDB，
同理可证得△CDB∽△ABC，
∴相似的三角形有：△ACD和△ABC，△ACD和△CDB，△CDB和△ABC；
（2）证明：∵△ACD∽△ABC，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
∴AC²=AD•AB，
同理可得

BC

BA

=

BD

BC

，

CD

AD

=

BD

CD

，
∴BC²=BD•AB，CD²=AD•BD；
（3）解：∵AD=2，DB=8，
∴CD²=AD•BD=2×8=16，
∴CD=4，
又∵AB=AD+BD=10，
∴AC²=AD•AB=2×10=20，BC²=BD•AB=8×10=80，
∴AC=2

5

，BC=4

5

；
（4）解：∵AC=6，DB=9，且AB=AD+BD，
∴AC²=AD（AD+BD），即6²=AD²+9AD，
解得AD=3或（-12舍去），
∴CD²=AD•BD=3×9=27，
∴CD=3

3

，
∴AB=AD+BD=12，
∴BC²=BD•AB=9×12=108，
∴BC=6

3

；
（5）证明：∵S_△ABC=

1

2

AC•BC，且S_△ABC=

1

2

CD•AB，
∴AC•BC=CD•AB．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形中角之间的关系是解题的关键，注意方程思想的应用．