Question

3．阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵，将等式的两边同乘以2，得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶
将下式减去上式得，2S-S=2²⁰¹⁶-1
即S=2²⁰¹⁶-1．
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1
请你仿照此法计算：
（1）填空：1+2+2²+2³=15．
（2）求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰的值．
（3）求1+$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ的值．（其中n为正整数）

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目中的信息可以计算出题目中所求式子的结果；
（3）根据题意，进行灵活变形可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
1+2+2²+2³=2⁴-1=16-1=15，
故答案为：15；
（2）由题意可得，
1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
=2¹¹-1
=2048-1
=2047；
（3）设S=1+$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
则$\frac{1}{3}$S=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ+$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴S-$\frac{1}{3}$S=1-$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴$\frac{2}{3}S$=1-$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
解得，S=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n}$，
即1+$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ的值是$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n}$．

点评 本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点．