Question

【题目】如图，是的直径，点在上，的外角平分线交于，交的延长线于．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由OB＝OD，得出∠ODB＝∠OBD，根据BD是△ABC的外角平分线，推出∠ODB＝∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，根据DE∥AC，即可推出OD⊥DE，从而证得直线DE与⊙O相切．

（2）由∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠DBE，进而求出∠DOB＝60°，即可得出结论．

解：（1）如图，连接，

∵，

∴．

∵是的外角平分线，

∴．

∴，

∴．

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴且点在上．

∴直线与相切；

（2）如图，连接，

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．