Question

【题目】如图a，已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B.

（1）求出抛物线的解析式.

（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状.并证明你的结论.

（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+x+2；（2）四边形BC′AC为矩形，见解析；（3）存在，（3，2）

【解析】

（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长度，利用勾股定理可求出AC、BC的长，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋转的性质即可找出四边形BC′AC为矩形；

（3）假设存在这样的点D，设D（x, －x2+x+2），则有－x2+x+2=2，求出x的值再进行判断即可.

（1）∵抛物线y=－x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，

∴

解得，

∴抛物线的解析式为：y=－x2+x+2

（2）四边形BC′AC为矩形.

令y=0，则－x2+x+2=0，解得，

∴B（－1，0）

∵A(4，0) 、C(0，2)，

∴OB=1，OA=4，OC=2，

由勾股定理求得：BC=,AC=2

又AB=5，

∴

∴△ABC直角三角形，∠BCA=90°，

∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC=AC'，AC=BC'

∴四边形BC′AC为平行四边形，

又∠BCA=90°

∴四边形BC′AC为矩形.

（3）设D（x, －x2+x+2），则有－x2+x+2=2，

解得，，（不符合题意，舍去），

∴D（3，2）

故存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等.点D的坐标为（3，2）.