Question

【题目】如图，在矩形中，、分别是、的中点，连接、、、，且.

（1）求证：；

（2）若，求的长；

（3）在（2）的条件下，求出的外接圆圆心与的外接圆圆心之间的距离？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由矩形的性质得到，再根据同角的余角相等，得到，即可证明相似；

（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到，再利用勾股定理，即可求出AB的长度；

（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M、N，利用三角形中位线定理，即可求出MN的长度.

（1）证明：在矩形中，有，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）在矩形中，有AD=BC，

∵、分别是、的中点，

∴；

∵，

∴，

∴，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

，

∴，

解得：；

（3）如图：

∵△ABC是直角三角形，

∴△ABC的外接圆的圆心在AC中点M处，

同理，△CEF的外接圆的圆心在CF的中点N处，

∴线段MN为△ACF的中位线，

∴，

由（2）知，，

∴，

∴.