Question

17．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，作垂直x轴的直线x=t，交x轴于H，交直线AB于M，交这个抛物线于N．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若M在第一象限，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）若∠ABO=∠BNH，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函数与坐标轴交点坐标，进而代入二次函数解析式得出b，c的值即可；
（2）根据作垂直x轴的直线x=t，得出M，N的坐标，进而根据坐标性质得出即可；
（3）分别利用当t$＜-\frac{1}{2}$时，-$\frac{1}{2}$≤t＜4时，t≥4时，利用锐角三角函数关系求出t的值即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交y轴、x 轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2
将x=4，y=0，c=2代入y=-x²+bx+c，
得到b=$\frac{7}{2}$，
∴y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2；

（2）如图：作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
∴由题意，易得M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
从而得到MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t （0＜t＜4），
当t=-$\frac{b}{2a}$=2时，MN有最大值为：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=4．

（3）∵∠ABO=∠BNH，
∴tan∠ABO=tan∠BNH
即$\frac{AO}{BO}$=$\frac{BH}{NH}$，
当-x²+$\frac{7}{2}$x+2=0时，x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=4，
①如图1，

t$＜-\frac{1}{2}$时，BH=4-t，NH=t²-$\frac{7}{2}$t-2，
$\frac{4-t}{{t}^{2}-\frac{7}{2}t-2}$=$\frac{2}{4}$，
解得t₁=4（舍去）t₂=-$\frac{5}{2}$，
∴t=-$\frac{5}{2}$，
②如图2，

-$\frac{1}{2}$≤t＜4时，BH=4-t，NH=-t²+$\frac{7}{2}$t+2，
$\frac{4-t}{-{t}^{2}+\frac{7}{2}t+2}$=$\frac{2}{4}$，
解得t₁=4（舍去）t₂=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$；
③如图3，

t≥4时，BH=t-4，NH=t²-$\frac{7}{2}$t-2，
$\frac{t-4}{{t}^{2}-\frac{7}{2}t-2}$=$\frac{2}{4}$，
解得t₁=4（舍去）t₂=$\frac{3}{2}$，
综上所述，当t=$\frac{3}{2}$或t=-$\frac{5}{2}$时，∠ABO=∠BNH．

点评 此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用、锐角三角函数关系等知识，根据已知分类讨论得出是解题关键．