Question

【题目】如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则的周长是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

如图：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE．先通过等腰三角形和全等三角形的判定和性质得到FQ=BQ=PE=1；再说明△DEF是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理计算得到DE=EF=；如图2，由DC//AB可得△DGC∽△FGA，列比例式可求FG和CG的长，从而得EG的长；然后再根据AGHF是等腰直角三角形，求得GH和FH的长；利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则可得EN=，然后计算出△EMN各边的长，最后求周长即可．

解：如图1：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE．

∵DC∥AB

∴PQ⊥AB，

∴四边形ABCD是正方形

∴∠ACD=450

∴△PEC是等腰直角三角形

∴PE=PC.

设PC=x，则PE=x，PD=4-x，EQ=4-x.

∴PD=EQ，

∴∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ.

∴△DPE≌△EQF

∴DE=EF

∵DE⊥EF

∴△DEF是等腰直角三角形

易证△DEC≌△BEC

∴DE=BE

∴EF=BE

∵EQ⊥FB

∴FQ=BQ=BF

∵AB=4，F是AB的中点

∴BF=2

∴FQ=BQ=PE=1

∴CE=，PD=4-1=3

Rt△DAF中，

∴DE=EF=

如图2：∵DC//AB.

∴△DGC∽△FGA

∴

∴AG=2AG,DG=2FG

∴

∵

∴

∴

连接GM、GN，交EF于H.

∵∠GFE=45°

∴△GHF是等腰直角三角形

∴

由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=

∴∠EHM=∠DEF=90°

∴DE∥HM

∴△DEN∽△MNH

∴

∴

∴EN=3NH

∵EN+NH=EH=

∴EN=

∴NH=EH-EN=

在Rt△GNH中，

由折叠得：MN=GN，EM=EG

∴△EMN的周长为．

故选：C．