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【题目】如图,将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠,顶点落到点处,于点

1)求证:是等腰三角形;

2)如图,过点,交于点,连接于点

①判断四边形的形状,并说明理由;

②若,求的长

【答案】1)见解析;(2)①菱形,见解析,②

【解析】

1)证明△BDF是等腰三角形,可证明BF=DF,可通过证明∠EBD=FDB实现,利用折叠的性质和平行线的性质解决;
2)①先判断四边形BFDG是平行四边形,再由(1BF=FD得到结论;
②要求FG的长,可先求出OF的长,在RtBFO中,BO可由ABAD的长及菱形的性质求得,解决问题的关键是求出BF的长.在RtBFA中,知AB=6AF+BF=AD=8,可求出BF的长,问题得以解决.

1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠ADB=CBD

由折叠的性质可知:∠EBD=CBD,∴∠ADB=EBD

BF=FD

BDF是等腰三角形;

(2)如图2,

① 四边形是菱形.

理由:∵FDBG,DGBE

∴四边形BFDG是平行四边形,

又∵BF=DF

∴四边形BFDG是菱形;

AF=x,则FD=8x

∴由折叠性质得BF=FD=8x

RtABF中,由勾股定理得:

解得:

FD=

RtABD中,∵AB=6AD=8

BD=10

∵四边形BFDG是菱形,

OD=BD=5,FO=FGFGBD

RtODF中,

,即,

FO=

FG=2FO=,

故答案为:.

的长为.

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