【题目】如图,将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠,顶点落到点处,交于点
(1)求证:是等腰三角形;
(2)如图,过点作,交于点,连接交于点
①判断四边形的形状,并说明理由;
②若,,求的长
【答案】(1)见解析;(2)①菱形,见解析,②
【解析】
(1)证明△BDF是等腰三角形,可证明BF=DF,可通过证明∠EBD=∠FDB实现,利用折叠的性质和平行线的性质解决;
(2)①先判断四边形BFDG是平行四边形,再由(1)BF=FD得到结论;
②要求FG的长,可先求出OF的长,在Rt△BFO中,BO可由AB、AD的长及菱形的性质求得,解决问题的关键是求出BF的长.在Rt△BFA中,知AB=6、AF+BF=AD=8,可求出BF的长,问题得以解决.
(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
由折叠的性质可知:∠EBD=∠CBD,∴∠ADB=∠EBD,
∴BF=FD
∴△BDF是等腰三角形;
(2)如图2,
① 四边形是菱形.
理由:∵FD∥BG,DG∥BE,
∴四边形BFDG是平行四边形,
又∵BF=DF,
∴四边形BFDG是菱形;
② 设AF=x,则FD=8x,
∴由折叠性质得BF=FD=8x,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:
解得:,
∴FD=,
在Rt△ABD中,∵AB=6,AD=8,
∴BD=10
∵四边形BFDG是菱形,
∴OD=BD=5,FO=FG,FG⊥BD,
在Rt△ODF中,
∵,即,
∴FO=,
∴FG=2FO=,
故答案为:.
的长为.
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【题目】如图,在平面系中,一次函数的图像经过定点A,反比例函数的图像经过点A,且与一次函数的图像相交于点B(,m).
(1)求m、a的值;
(2)设横坐标为n的点P在反比例函数图象的第三象限上,且在点B右侧,连接AP、BP,△ABP的面积为12,求代数式的值.
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【题目】(概念认识)
若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形,则圆外这一点称为这个圆的径等点.
(数学理解)
(1)如图①,AB是⊙O的直径,点P为⊙O外一点,连接AP交⊙O于点C,PC=AC.
求证:点P为⊙O的径等点.
(2)已知AB是⊙O的直径,点P为⊙O的径等点,连接AP交⊙O于点C,若PC=2AC.求的值.
(问题解决)
(3)如图②,已知AB是⊙O的直径.若点P为⊙O的径等点,连接AP交⊙O于点C,PC=3AC.利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P.(保留作图痕迹,不写作法)
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【题目】为了检测疫情期间的学习效果,某班依据学校要求进行了测试,并将成绩分成五个等级,依据相关数据绘制如下不完整统计图表如下,请解答问题:
(1)该班参与测试的人数为________;
(2)等级的人数之比为,依据数据补全统计图;
(3)扇形图中,等级人数所对应的扇形图中的圆心角为________;
(4)若全年级共有1400人,请估计年级部测试等级在等级以上(包括级)的学生人数.
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【题目】如图,正方形中,,点是对角线上一点,连接,过点作,交于点,连接,交于点,将沿翻折,得到,连接,交于点,若点是的中点,则的周长是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx-k的图象与函数y=(x>0)的图象交点为A,与y轴交于点B,P是x轴上一点,且△PAB的面积是4,则P的坐标____.
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【题目】如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A.4B.6.25C.7.5D.9
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是边CD上的点,且CE=4,过点E作CD的垂线,并在垂线上截取EF=3,连接CF.将△CEF绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为a.
(1)问题发现
当a=0°时,AF= ,BE= ,= ;
(2)拓展探究
试判断:当0°≤a°<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△CEF旋转至A,E,F三点共线时,直接写出线段BE的长.
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【题目】菱形ABCD中,∠ABC=30°,AC⊥BD,点E在对角线BD上,∠AED=45°,P是菱形上一点,若△AEP是以AE为直角边为直角三角形,则tan∠APE的值为________.
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