Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)直接写出时，x的取值范围；

(3)在x轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-；（2）x＜-8或-2＜x＜0；（3）在x轴上存在点P1（-、0）P2（0、0）使△PAB为直角三角形

【解析】

（1）联立一次函数和，解出A点坐标，代入反比例函数解析式即可求出；

（2）联立和y=-解出B点坐标，结合图像即可得出答案；

（3）假设在x轴上存在P（t、0）使△PAB为直角三角形，用含t的代数式表示PA2，

PB2，AB2，然后根据勾股定理分①PA2+PB2=PC2；②PA2=PB2+PC2；③PB2=PA2+AB2三种情况讨论即可．

（1）解：依题得

解得，即A（-2、4）

将A（-2、4）代入得k=-8，即反比例函数解析式为：y=-；

（2）∵

解得：或，即B（-8、1）

∴结合图像可得当y1＜y3时，x的取值范围是x＜-8或-2＜x＜0；

（3）如图，假设在x轴上存在P（t、0）使△PAB为直角三角形，

∵ PA2=（t+2）2+42=t2+4t+20

PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65

AB2=62+32=45

①PA2+PB2=PC2，即t2+4t+20+t2+16t+65=45

化简得t2+t+1=0

此时方程无解，故此种情况不成立；

②PA2=PB2+PC2 即t2+4t+20=t2+16t+65+45

解得：t=-；

③PB2=PA2+AB2 即t2+16t+65=45+t2+4t+20

解得：t=0；

综上所，在x轴上存在点P1（-、0），P2（0、0）使△PAB为直角三角形．