Question

如图，△ABC中，AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：

DE

=

CE

；  
②求点D到BC的距离．

Answer 1

考点：作图—复杂作图

专题：

分析：（1）利用尺规作图作出AC的中点，就是圆心，从而作出圆；
（2）①连接AE，根据等腰三角形的性质证明∠DAE=∠CAE，即可证得；
②连接AE，CD，作DM⊥BC交BC于点M，在直角△BCD中首先利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BDH中，利用三角函数求得DM．

解答：解：（1）如图所示：

（2）①如图，连接AE，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴

DE

=

CE

； 
②连接AE，CD，作DM⊥BC交BC于点M，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵AB=AC
∴∠B=∠C                     
∴cos∠C=cos∠B=

5

5

，
∴BD=BC cos∠B=

8 5

5

，
∴DM=BDsin∠B=

16

5

．

点评：本题考查了圆周角定理以及三角函数，和等腰三角形的性质，正确理解三角函数的定义是关键．