【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,AM是△ACD的外角∠DAF的平分线.
(1)求证:AM是⊙O的切线;
(2)若∠D = 60°,AD = 2,射线CO与AM交于N点,请写出求ON长的思路.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析:(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD,根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD,得到∠BAD=∠CAD,由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线,得到∠DAM=∠FAD,再由∠BAD与∠FAD互补,得出∠BAM=90°,根据切线的判定即可得到结论;
(2)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出△ACD是等边三角形,得到CD=AD=2,再根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠5=∠4=30°,AN=AC=2,利用三角函数解直角三角形即可得到结论.
试题解析:
(1)证明:∵AB⊥CD,AB是⊙O的直径,
∴.
∴.
∵AM是∠DAF的角平分线,
∴.
∵°,
∴°.
∴OA⊥AM.
∴AM是⊙O的切线.
(2)思路:①由AB⊥CD,AB是⊙O的直径,可得AC=AD,∠1=∠3=∠CAD;
②由∠D=60°,AD=2,可得△ACD为边长为2的等边三角形,∠1=∠3=30°;
③由OA=OC,可得∠4=∠3=30°;
④由∠CAN=∠3+∠BAN=30°+90°=120°,可得∠5=∠4=30°,AN=AC=2;
⑤在Rt△OAN中,根据三角函数即可求出ON的长.
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【题目】若A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是(A,B)的好点.例如,如图1,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是(A,B)的好点;又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是(A,B)的好点,但点D是(B,A)的好点.
知识运用:如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣2,点N所表示的数为4.
(1)数 所表示的点是(M,N)的好点;
(2)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以2个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当t为何值时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,△ADC与△ABC关于直线AC对称,AE与CD垂直交BC的延长线于点E,∠EAF=45°,且AF与AB在AE的两侧,EF⊥AF.
(1)依题意补全图形.
(2)①在AE上找一点P,使点P到点B,点C的距离和最短;
②求证:点D到AF,EF的距离相等.
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【题目】把下列各数分别填入相应的集合里:0,-3.14,-(-10),,-4,15%,,0.3,,10.01001000100001…
非负整数集合:{ …}
正分数集合:{ …}
无理数集合:{ …}
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【题目】阅读第①小题的计算方法,再计算第②小题.
①–5+(–9)+17+(–3)
解:原式=[(–5)+(–)]+[(–9)+(–)]+(17+)+[(–3+(–)]
=[(–5)+(–9)+(–3)+17]+[(–)+(–)+(–)+]
=0+(–1)
=–1.
上述这种方法叫做拆项法.灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便.
②仿照上面的方法计算:(﹣2000)+(﹣1999)+4000+(﹣1)
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【题目】菱形ABCD的周长为24,∠ABC=60°,以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE,连结AC,CE,则△ACE的面积为___________.
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【题目】如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=20,
(1)写出数轴上点B表示的数 ;
(2)|5﹣3|表示5与3之差的绝对值,实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离.如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离.试探索:
①:若|x﹣8|=2,则x= .
②:|x+12|+|x﹣8|的最小值为 .
(3)动点P从O点出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.求当t为多少秒时?A,P两点之间的距离为2;
(4)动点P,Q分别从O,B两点,同时出发,点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动,Q点以P点速度的两倍,沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.问当t为多少秒时?P,Q之间的距离为4.
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【题目】(1)【特殊发现】如图1,AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,连接BD,过A作AF⊥BD,交BD于E,交BC于F,若BF=1,BC=3,则AB·CD= ;
(2)【类比探究】如图2,在线段BC上存在点E,F,连接AF,DE交于点H,若∠ABC=∠AHD=∠ECD,求证:AB·CD=BF·CE;
(3)【解决问题】如图3,在等腰△ABC中,AB=AC=4,E为AB中点,D为AE中点,过点D作直线DM∥BC,在直线DM上取一点F,连接BF交CE于点H,使∠FHC=∠ABC,问:DF·BC是否为定值?若是,请求出,若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在合肥地铁3号线某站通道的建设中,建设工人将坡长为20米米、坡角为的斜坡通道改造成坡角为的斜坡通道,使斜坡的起点从点A处向左平移至点D处,求改造后的斜坡通道BD的长结果精确到米参考数据: .
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