Question

如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）OB与OC相等吗？请说明你的理由；
（2）点O在∠BAC的平分线上吗？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）OB与OC相等．求出CD=BE，∠EBC=∠DCB，证△EBC≌△DCB，推出∠DBC=∠ECB即可．
（2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE=OD即可．

解答：解：（1）OB与OC相等．理由如下：
：∵BD、CE是△ABC的两条中线，
∴CD=

1

2

AC，BE=

1

2

AB，
∵AB=AC，
∴CD=BE，∠EBC=∠DCB，
在△EBC和△DCB中，

BE=CD ∠EBC=∠DCB BC=BC

，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC．

（2）由（1）知，△EBC≌△DCB，则BE=CD．
在△BEO与△CDO中，

∠BOE=∠COD ∠OEB=∠ODC=90° BE=CD

，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE=OD．
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴O在∠BAC的平分线上．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是推出△EBC≌△DCB，注意：等角对等边．