Question

如图，在正方形ABCD中，点E在CD边上，且CE：DE=1：3，求∠AEB的正弦值．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：过点A作AF⊥BE于F，根据比例设CE=k，DE=3k，得到正方形的边长为4k，利用勾股定理列式求出AE=5k，BE=

17

k，再求出△ABF和△BCE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AF，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点A作AF⊥BE于F，
∵CE：DE=1：3，
∴设CE=k，DE=3k，
则正方形的边长为4k，
由勾股定理得，AE=

(3k)2+(4k)2

=5k，
BE=

k2+(4k)2

=

17

k，
∵∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CBE=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
又∵∠AFB=∠C=90°，
∴△ABF∽△BCE，
∴

AF

BC

=

AB

BE

，
即

AF

4k

=

4k

17 k

，
解得AF=

16 17

17

k，
∴∠AEB的正弦值=

AF

AE

=

16 17 17 k

5k

=

16 17

85

．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，作辅助线构造出直角三角形和相似三角形是解题的关键．