【题目】如图,已知抛物线与x轴交于点A、B,与y轴分别交于点C,其中点,点,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上一动点,过P作交BC于D,当面积最大时,求点P的坐标;
(3)点M是位于线段BC上方的抛物线上一点,当恰好等于中的某个角时,求点M的坐标.
【答案】(1);(2)当时,S最大,此时;(3)或
【解析】
(1)先根据射影定理求出点,设抛物线的解析式为:,将点代入求出,然后化为一般式即可;
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点E,设,用待定系数法分别求出直线BC,直线AC,直线PD的解析式,表示出点E,点D的坐标,然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;
(3)分两种情况求解:当时和当时.
(1)∵,,
∴,.
∵,
∴由射影定理可得:,
∴,∴点,
设抛物线的解析式为:,将点代入上式得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点E,设,
设,
把,代入得
,
∴,
∴,
∴,
同样的方法可求,
故可设,把代入得,
联立解得:,
∴,
,
故当时,S最大,此时;
(3)由题知,,
当时,,
∴点C与点M关于对称轴对称,
∴;
当时,过M作于F,过F作y轴的平行线,交x轴于G,交过M平行于x轴的直线于K,
∵∠,BFM=∠BGF,
∴△MFK∽△FGB,
同理可证:,
∴,,
设,则,
∴,
∴,代入,
解得
,或(舍去),
∴,
故或.
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【题目】庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲,乙两种T恤共400件,其每件的售价与进货量(件)之间的关系及成本如下表所示:
T恤 | 每件的售价/元 | 每件的成本/元 |
甲 | 50 | |
乙 | 60 | |
(1)当甲种T恤进货250件时,求两种T恤全部售完的利润是多少元;
(2)若所有的T恤都能售完,求该商店获得的总利润(元)与乙种T恤的进货量(件)之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,已知两种T恤进货量都不低于100件,且所进的T恤全部售完,该商店如何安排进货才能使获得的利润最大?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,已知,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,若点是直线上方的抛物线上一动点,过点作轴的平行线交直线于点,作于点,当点的横坐标为时,求的面积;
(3)若点为抛物线上的一个动点,以点为圆心,为半径作,当在运动过程中与直线相切时,求点的坐标(请直接写出答案).
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【题目】已知直线y=x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B.
(1)求抛物线解析式;
(2)点C(m,0)在线段OA上(点C不与A,O点重合),CD⊥OA交AB于点D,交抛物线于点E,若DE=AD,求m的值;
(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,在(2)的条件下,是否存在以点D,B,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,抛物线()与直线交于点、(点在点右边),将抛物线沿直线翻折,翻折前后两抛物线的顶点分别为点、,我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线,四边形称为惊喜四边形,对角线与之比称为惊喜度(Degree of surprise),记作.
(1)如图(1)抛物线沿直线翻折后得到惊喜线.则点坐标 ,点坐标 ,惊喜四边形属于所学过的哪种特殊平行四边形? ,为 .
(2)如果抛物线()沿直线翻折后所得惊喜线的惊喜度为1,求的值.
(3)如果抛物线沿直线翻折后所得的惊喜线在时,其最高点的纵坐标为16,求的值并直接写出惊喜度.
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【题目】某塑料厂生产一种家用塑料制品,它的成本是元件,售价是元件,年销售量为万件.为了获得更好的效益,厂家准备拿出一定的资金做广告.根据测算,若每年投入广告费万元,产品的年销售量将是原销售量的倍,且与之间满足,具体数量如下表:
(万元) | ||||||
(1)求与的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用,试求出年利润(万元)与广告费用(万元)的函数关系式,并计算每年投入的广告费是多少万元时,所获得的利润最大?
(3)如果厂家希望年利润(万元)不低于万元,请你帮助厂家确定广告费的范围.
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【题目】如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②∠DFB=∠CGE;③∠ADC=∠GCD;④CA平分∠BCG.其中正确的结论是_______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点B(12,10),过点B作x轴的垂线,垂足为A.作y轴的垂线,垂足为C.点D从O出发,沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动;点E从O出发,沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动;点F从B出发,沿BA方向以每秒2个单位长度运动.当点E运动到点A时,三点随之停止运动,运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE,设运动时间为t.
(1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标;
(2)若△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似,求t的值;
(3)当t=2时,求O′点在坐标.
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