Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点B(12，10)，过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．

（1）用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；

（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值；

（3）当t＝2时，求O′点在坐标．

Answer 1

【答案】（1）E(3t，0)，F(12，10﹣2t)；（2）t＝；（3）O'(，)

【解析】

（1）直接根据路程等于速度乘以时间，即可得出结论；

（2）先判断出∠DOE＝∠EAF＝90°，再分两种情况，用相似三角形得出比例式，建立方程求解，最后判断即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出DE，再利用三角形的面积求出OG，进而求出OO'，再判断出△OHO'∽△EOD，得出比例式建立方程求解即可得出结论．

解：（1）∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10），

∴AB＝10，

由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），

∴AF＝10﹣2t，

∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；

（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，

∴AE＝12﹣3t，

∵BA⊥x轴，

∴∠OAB＝90°＝∠AOC，

∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，

∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，

①当△DOE∽△EAF时，，

∴，

∴t＝，

②当△DOE∽△FAE时，，

∴，

∴t＝6（舍），

即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝秒；

（3）如图，

当t＝2时，OD＝2，OE＝6，

在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝2，

连接OO'交DE于G，

∴OO'＝2OG，OO⊥DE，

∴S△DOE＝ODOE＝DEOG，

∴OG＝＝＝，

∴OO'＝2OG＝，

∵∠AOC＝90°，

∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，

∵OO'⊥DE，

∴∠OED+∠AOO'＝90°，

∴∠HOO'＝∠OED，

过点O'作O'H⊥y轴于H，

∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，

∴△OHO'∽△EOD，

∴，

∴，

∴OH＝，O'H＝，

∴O'（，）．