【题目】如图1,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,点E,F分别在边AB,BC上,且BF=FC,连接DE,EF,并以DE,EF为边作DEFG.
(1)连接DF,求DF的长度;
(2)求DEFG周长的最小值;
(3)当DEFG为正方形时(如图2),连接BG,分别交EF,CD于点P、Q,求BP:QG的值.
【答案】(1);(2)6
;(3)
或
.
【解析】
(1)平行四边形DEFG对角线DF的长就是Rt△DCF的斜边的长,由勾股定理求解;
(2)平行四边形DEFG周长的最小值就是求邻边2(DE+EF)最小值,DE+EF的最小值就是以AB为对称轴,作点F的对称点M,连接DM交AB于点N,点E与N点重合时即DE+EF=DM时有最小值,在Rt△DMC中由勾股定理求DM的长;
(3)平行四边形DEFG为矩形时有两种情况,一是一般矩形,二是正方形,分类用全等三角形判定与性质,等腰直角三角形判定与性质,三角形相似的判定与性质和勾股定理求解.
解:(1)如图1所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∠C=90°,AD=BC,AB=DC,
∵BF=FC,AD=2;
∴FC=1,
∵AB=3;
∴DC=3,
在Rt△DCF中,由勾股定理得,
∴DF==
=
;
(2)如图2所示:
作点F关直线AB的对称点M,连接DM交AB于点N,
连接NF,ME,点E在AB上是一个动点,
①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形,
∴ME+DE>MD,
②当点E与点N重合时点M、E(N)、D在同一条直线上,
∴ME+DE=MD
由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时,
∵MB=BF,
∴MB=1,
∴MC=3,
又∵DC=3,
∴△MCD是等腰直角三角形,
∴MD==
=3
,
∴NF+DN=MD=3,
∴l平行四边形DEFG=2(NF+DF)=6;
(3)设AE=x,则BE=3﹣x,
∵平行四边形DEFG为矩形,∴∠DEF=90°,
∵∠AED+∠BEF=90°,∠BEF+∠BFE=90°,
∴∠AED=∠BFE,
又∵∠A=∠EBF=90°,
∴△DAE∽△EBF,
∴=
,
∴=
,
解得:x=1,或x=2
①当AE=1,BE=2时,过点B作BH⊥EF,
如图3(甲)所示:
∵平行四边形DEFG为矩形,
∴∠A=∠ABF=90°,
又∵BF=1,AD=2,
∴在△ADE和△BEF中,,
∴△ADE≌△BEF中(SAS),
∴DE=EF,
∴矩形DEFG是正方形;
在Rt△EBF中,由勾股定理得:
EF==
=
,
∴BH==
,
又∵△BEF~△HBF,
∴=
,
HF==
=
,
在△BPH和△GPF中有:∠BPH=∠GPF,∠BHP=∠GFP,
∴△BPH∽△GPF,
∴=
=
=
,
∴PF=HF=
,
又∵EP+PF=EF,
∴EP=﹣
=
,
又∵AB∥BC,EF∥DG,
∴∠EBP=∠DQG,∠EPB=∠DGQ,
∴△EBP∽△DQG(AA),
∴=
=
=
,
②当AE=2,BE=1时,过点G作GH⊥DC,
如图3(乙)所示:
∵DEFG为矩形,
∴∠A=∠EBF=90°,
∵AD=AE=2,BE=BF=1,
∴在Rt△ADE和Rt△EFB中,由勾股定理得:
∴ED==2
,
EF==
=
,
∴∠ADE=45°,
又∵四边形DEFG是矩形,
∴EF=DG,∠EDG=90°,
∴DG=,∠HDG=45°,
∴△DHG是等腰直角三角形,
∴DH=HG=1,
在△HGQ和△BCQ中有,∠GHQ=∠BCQ,∠HQG=∠CQB,
∴△HGQ∽△BCQ,
∴=
=
,
∵HC=HQ+CQ=2,
∴HQ=,
又∵DQ=DH+HQ,
∴DQ=1+=
,
∵AB∥DC,EF∥DG,
∴∠EBP=∠DQG,∠EPB=∠DGQ,
∴△EBP∽△DQG(AA),
∴=
,
综合所述,BP:QG的值为或
.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与
轴交于
、
两点,与
轴交于点
,已知
,
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,若点是直线
上方的抛物线上一动点,过点
作
轴的平行线交直线
于点
,作
于点
,当点
的横坐标为
时,求
的面积;
(3)若点为抛物线上的一个动点,以点
为圆心,
为半径作
,当
在运动过程中与直线
相切时,求点
的坐标(请直接写出答案).
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【题目】如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②∠DFB=∠CGE;③∠ADC=∠GCD;④CA平分∠BCG.其中正确的结论是_______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点B(12,10),过点B作x轴的垂线,垂足为A.作y轴的垂线,垂足为C.点D从O出发,沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动;点E从O出发,沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动;点F从B出发,沿BA方向以每秒2个单位长度运动.当点E运动到点A时,三点随之停止运动,运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE,设运动时间为t.
(1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标;
(2)若△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似,求t的值;
(3)当t=2时,求O′点在坐标.
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【题目】在一个不透明的袋子中,装有除颜色外都完全相同的4个红球和若干个黄球.
如果从袋中任意摸出一个球是红球的概率为
,那么袋中有黄球多少个?
在
的条件下如果从袋中摸出一个球记下颜色后放回,再摸出一个球,用列表或画树状图的方法求出两次摸出不同颜色球的概率.
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x,小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)小红摸出标有数3的小球的概率是多少?.
(2)请你用列表法或画树状图法表示出由x,y确定的点P(x,y)所有可能的结果.
(3)求点P(x,y)在函数y=﹣x+5图象上的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,﹣4)和B(2,0)两点.
(1)求c的值及a,b满足的关系式;
(2)若抛物线在A和B两点间,从左到右上升,求a的取值范围;
(3)抛物线同时经过两个不同的点M(p,m),N(﹣2﹣p,n).
①若m=n,求a的值;
②若m=﹣2p﹣3,n=2p+1,求a的值.
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【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置,在地面上,支架
是底边为
的等腰直角三角形,摆动臂长
可绕点
旋转,摆动臂
可绕点
旋转,
,
.
(1)在旋转过程中:
①当三点在同一直线上时,求
的长;
②当三点在同一直角三角形的顶点时,求
的长.
(2)若摆动臂顺时针旋转
,点
的位置由
外的点
转到其内的点
处,连结
,如图2,此时
,
,求
的长.
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