Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作DEFG．

（1）连接DF，求DF的长度；

（2）求DEFG周长的最小值；

（3）当DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3）或 ．

【解析】

（1）平行四边形DEFG对角线DF的长就是Rt△DCF的斜边的长，由勾股定理求解；

（2）平行四边形DEFG周长的最小值就是求邻边2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB为对称轴，作点F的对称点M，连接DM交AB于点N，点E与N点重合时即DE+EF＝DM时有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的长；

（3）平行四边形DEFG为矩形时有两种情况，一是一般矩形，二是正方形，分类用全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．

解：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，

∵BF＝FC，AD＝2；

∴FC＝1，

∵AB＝3；

∴DC＝3，

在Rt△DCF中，由勾股定理得，

∴DF＝＝＝；

（2）如图2所示：

作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，

连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，

①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，

∴ME+DE＞MD，

②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，

∴ME+DE＝MD

由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，

∵MB＝BF，

∴MB＝1，

∴MC＝3，

又∵DC＝3，

∴△MCD是等腰直角三角形，

∴MD＝＝＝3，

∴NF+DN＝MD＝3，

∴l平行四边形DEFG＝2（NF+DF）＝6；

（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，

∵平行四边形DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，

∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，

∴∠AED＝∠BFE，

又∵∠A＝∠EBF＝90°，

∴△DAE∽△EBF，

∴＝，

∴＝，

解得：x＝1，或x＝2

①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，

如图3（甲）所示：

∵平行四边形DEFG为矩形，

∴∠A＝∠ABF＝90°，

又∵BF＝1，AD＝2，

∴在△ADE和△BEF中，，

∴△ADE≌△BEF中（SAS），

∴DE＝EF，

∴矩形DEFG是正方形；

在Rt△EBF中，由勾股定理得：

EF＝＝＝，

∴BH＝＝，

又∵△BEF～△ＨBF，

∴＝，

HF＝＝＝，

在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，

∴△BPH∽△GPF，

∴＝＝＝，

∴PF＝HF＝，

又∵EP+PF＝EF，

∴EP＝﹣＝，

又∵AB∥BC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴＝＝＝，

②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，

如图3（乙）所示：

∵DEFG为矩形，

∴∠A＝∠EBF＝90°，

∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，

∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：

∴ED＝＝2，

EF＝＝＝，

∴∠ADE＝45°，

又∵四边形DEFG是矩形，

∴EF＝DG，∠EDG＝90°，

∴DG＝，∠HDG＝45°，

∴△DHG是等腰直角三角形，

∴DH＝HG＝1，

在△HGQ和△BCQ中有，∠GHQ＝∠BCQ，∠HQG＝∠CQB，

∴△HGQ∽△BCQ，

∴＝＝，

∵HC＝HQ+CQ＝2，

∴HQ＝，

又∵DQ＝DH+HQ，

∴DQ＝1+＝，

∵AB∥DC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴＝，

综合所述，BP：QG的值为或．