Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．

（1）求c的值及a，b满足的关系式；

（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；

（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．

①若m＝n，求a的值；

②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）﹣1≤a＜0或0＜a≤1；（3）①a＝；②a＝1

【解析】

（1）直接将AB两点代入解析式可求c，以及a，b之间的关系式．
（2）根据抛物线的性质可知，当a＞0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x=和A、B两点位置列出不等式即可求解；

（3）①根据抛物线的对称性得出，解得a=；

②根据M、N的坐标，易证得两点都在直线y=-2x-3上，即M、N是直线y=-2x-3与抛物线y=ax2+（2-2a）x-4的交点，然后根据根与系数的关系得出p+（-2-p）=，解得a=1．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣4）和B（2，0）．

∴，

∴c＝﹣4，2a+b＝2．

（2）由（1）可得：y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4，

对称轴为：x＝＝，

∵抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；

①当a＞0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，

即：≤0，

解得：a≤1

∴0＜a≤1；

②当a＜0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，

即≥2，

解得：a≥﹣1；

∴﹣1≤a＜0，

综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a≤1；

（3）①若m＝n，则点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于直线x＝对称，

∴，

∴a＝；

②∵m＝﹣2p﹣3，

∴M（p，m）在直线y＝﹣2x﹣3上，

∵n＝2p+1＝﹣2（﹣2﹣p+2）+1＝﹣2（﹣p﹣2）﹣3，

∴N（﹣2﹣p，n）在直线y＝﹣2x﹣3上，

即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，

∴p和﹣2﹣p是方程ax2+（2﹣2a）x﹣4＝﹣2x﹣3的两个根，

整理得ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，

∴p+（﹣2﹣p）＝，

∴a＝1．