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【题目】已知直线yx+3x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点AB

1)求抛物线解析式;

2)点Cm0)在线段OA上(点C不与AO点重合),CDOAAB于点D,交抛物线于点E,若DEAD,求m的值;

3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,在(2)的条件下,是否存在以点DBMN为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2m=﹣2;(3)存在,点N的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣10),理由见解析

【解析】

1)先确定出点AB坐标,再用待定系数法即可得出结论;

2)先表示出DE,再利用勾股定理表示出AD,建立方程即可得出结论;

3)分两种情况:①以BD为一边,判断出EDB≌△GNM,即可得出结论.

②以BD为对角线,利用中点坐标公式即可得出结论.

1)当x0时,y3

B03),

y0时,x+30x=﹣3

A(﹣30),

A(﹣30),B03)代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得:

解得:

∴抛物线的解析式为:y=﹣x22x+3

2)∵CDOACm0),

Dmm+3),Em,﹣m22m+3),

DE=(﹣m22m+3)﹣(m+3)=﹣m23m

ACm+3CDm+3

由勾股定理得:ADm+3),

DEAD

∴﹣m23m2m+3),

m1=﹣3(舍),m2=﹣2

3)存在,分两种情况:

①以BD为一边,如图1,设对称轴与x轴交于点G

C(﹣20),

D(﹣21),E(﹣23),

EB关于对称轴对称,

BEx轴,

∵四边形DNMB是平行四边形,

BDMNBDMN

∵∠DEB=∠NGM90°,∠EDB=∠GNM

∴△EDB≌△GNM

NGED2

N(﹣1,﹣2);

②当BD为对角线时,如图2

此时四边形BMDN是平行四边形,

Mn,﹣n22n+3),N(﹣1h),

∵B(0,3),D(-2,1),

n=-1,h0

N(﹣10);

综上所述,点N的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣10).

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