Question

【题目】已知直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线解析式；

（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A，O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE＝AD，求m的值；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由见解析

【解析】

（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法即可得出结论；

（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出结论；

（3）分两种情况：①以BD为一边，判断出△EDB≌△GNM，即可得出结论．

②以BD为对角线，利用中点坐标公式即可得出结论．

（1）当x＝0时，y＝3，

∴B（0，3），

当y＝0时，x+3＝0，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，

（2）∵CD⊥OA，C（m，0），

∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），

∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，

∵AC＝m+3，CD＝m+3，

由勾股定理得：AD＝（m+3），

∵DE＝AD，

∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），

∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；

（3）存在，分两种情况：

①以BD为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，

∵C（﹣2，0），

∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），

∴E与B关于对称轴对称，

∴BE∥x轴，

∵四边形DNMB是平行四边形，

∴BD＝MN，BD∥MN，

∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，

∴△EDB≌△GNM，

∴NG＝ED＝2，

∴N（﹣1，﹣2）；

②当BD为对角线时，如图2，

此时四边形BMDN是平行四边形，

设M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），

∵B(0，3),D(-2，1),

∴

∴n＝-1，h＝0

∴N（﹣1，0）；

综上所述，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．