Question

19．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=1，则图中阴影部分的面积为3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OA、OC和AC，由旋转性质可知△AOC为等腰直角三角形，△ACD为菱形的一半，可求得△AOC中阴影部分的面积，由对称性可求得阴影部分的面积．

解答 解：如图，连接AO、CO，连接AC和BD，交于点E，
由旋转可知OA=CO，∠AOC=90°，
∵∠BAD=60°，AB=1，
∴BD=AB=1，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，AO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴S_阴影=4（S_△AOC-S_△ADC）
=4（S_△AOC-$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD）
=4（$\frac{1}{2}$AO•CO-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC•BD）
=4（$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{1}{4}$×$\sqrt{3}$×1）
=4×$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$
=3-$\sqrt{3}$．
故答案为：3-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查旋转和菱形的性质，掌握菱形的性质及旋转的定义是解题的关键．