Question

【题目】探究活动一：

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是　 　．（不必证明，直接给出结论即可）

探究活动二：

如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；

探究活动三：

根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）ME=MF．(2) ME=mMF．理由见解析；（3）ME=mMF．理由见解析.

【解析】

（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，首先证明M是正方形ABCD对角线的交点，然后证明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性质得到ME=MF；
（2）过点M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性质和已知条件证明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（3）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，由于M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，AD交QM于E，则ME=mMF．证明方法和（1）（2）类似．

（1）ME=MF．

理由：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

则∠MHF=∠MGE=90°，

∵M是正方形ABCD的对称中心，

∴AM平分∠BAD，

∴MH=MG，

在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，

∴∠EMF=∠HMG=90°，

∴∠FMH=∠EMG，

在△MHF和△MGE中，

∴△MHF≌△MGE（ASA），

∴MF=ME，

故答案为：MF=ME；

（2）ME=mMF．

理由：如图2，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，

则∠MHE=∠MGF=90°，

在矩形ABCD中，∠A=90°，

∴在四边形GMHA中，∠GMH=90°，

又∵∠EMF=90°，

∴∠HME=∠GMF，

又∵∠MGF=∠MHE=90°，

∴△MGF∽△MHE，

∴，

又∵M是矩形ABCD的对称中心，

∴MG=BC，MH=AB，

∵AB=mBC，

∴=m，

∴ME=mMF；

（3）ME=mMF．

理由：如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，

则∠MHE=∠MGF=90°，

在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，

∴∠A+∠EMF=180°，

又∵在四边形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，

∴∠EMF=∠GMF，

又∵∠MGF=∠MHE=90°，

∴△MGF∽△MHE，

∴，

又∵M是矩形ABCD的对称中心，

∴MG=BC，MH=AB，

∵AB=mBC，

∴，

∴ME=mMF．