Question

120°、30°、30°的等腰三角形三边的比值是多少？36°、72°、72°的等腰三角形的三边的比值是多少？

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：如图1，∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，作AD⊥BC于D，设AD=a，易得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得BD=CD，AB=AC，在Rt△ABD中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2a，BD=

3

a，BC=2BD=2

3

a，原式可计算出AB：AC：BC=1：1：

3

；
如图2，∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，作BD平分∠ABC，易得图中三角形都是等腰三角形，设BC=x，AC=y，则AD=x，CD=y-x，易证得△BCD∽△ABC，
利用相似比可得x：y=（y-x）：x，整理得x²+yx-y²=0，解方程得到x=

-1+ 5

2

y，则可计算出BC：AB：AC=

5 -1

2

：1：1．

解答：解：如图1，∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，
作AD⊥BC于D，设AD=a，
∵∠B=∠C=30°，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BD=CD，AB=AC，
在Rt△ABD中，AB=2a，BD=

3

a，
∴BC=2BD=2

3

a，
∴AB：AC：BC=2a：2a：2

3

a=1：1：

3

；
如图2，∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，作BD平分∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴AB=AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
设BC=x，AC=y，则AD=x，CD=y-x，
易证得△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即x：y=（y-x）：x，
整理得x²+yx-y²=0，解得x₁=

-1+ 5

2

y，x₂=

-1- 5

2

y（舍去），
∴x=

-1+ 5

2

y，
∴BC：AB：AC=x：y：y=

5 -1

2

y：y：y=

5 -1

2

：1：1．
答：120°、30°、30°的等腰三角形三边的比值为1：1：

3

；36°、72°、72°的等腰三角形的三边的比值是

5 -1

2

：1：1．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．