Question

【题目】（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；

（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；

（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+∠A，∠E＝120°+∠A，见解析；（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝∠A，∠E＝∠A，见解析；（3）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°﹣∠A，∠E＝120°﹣∠A，见解析.

【解析】

（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后列式计算即可求解；（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；（3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可．

（1）∠D＝60°+∠A，∠E＝120°+∠A．

理由如下：

∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∵BE三等分∠ABC，CE三等分∠ACB，

∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝60°﹣∠A，

∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=120°-∠A，

∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°﹣∠A）＝120°+∠A．

∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（120°-∠A）=60°+∠A，

答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+∠A，∠E＝120°+∠A．

（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝∠A，∠E＝∠A．

理由如下：

∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，

∴∠EBC＝∠ABC，∠ECM＝∠ACM，∠DBC=∠ABC，∠DCM=∠ACM，

∴∠E＝∠ECM﹣∠EBC＝（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A．

∠D=∠DCM-∠DBC=（∠ACM﹣∠ABC）=∠A.

答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝∠A，∠E＝∠A．

（3）∠D＝60°﹣∠A，∠E＝120﹣∠A．

理由如下：

∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，

∴∠CBE＝∠CBP，∠BCE＝∠BCQ，∠CBD=∠CBP，∠BCD=∠BCQ，

∴∠E＝180°﹣（∠CBP+∠BCQ）

＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）

＝180°﹣120°+（180°﹣∠A）

＝120﹣A．

同理：∠D＝180°﹣（∠CBP+∠BCQ）

=180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）

=180°-120°+（180°-∠A）

=60°﹣∠A.

答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°﹣∠A，∠E＝120°﹣∠A