Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中：

①2a+b=0；

②c=﹣3a；

③只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；

④使△ACB为等腰三角形的a的值有三个．

其中正确的结论是_____．（请把正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，可判定①；由A点坐标为（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，由①得b=﹣2a，可得a+2a+c=0，即c=﹣3a．可判定②；要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；即D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．所以当x=1时，y=a+b+c，即|a+b+c|=2，由图象可知当x=1时y＜0，即可得a+b+c=﹣2，又因图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴当x=﹣1时y=0，即a﹣b+c=0，x=3时y=0，即9a+3b+c=0，解这三个方程求得b、a、c的值，即可判定③；要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，根据这三种情况求得a的值，即可判定④.

①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴AB=4，

∴对称轴x=﹣=1，

即2a+b=0．故①正确；

②∵A点坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故②正确；

③要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；

D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．

当x=1时，y=a+b+c，

即|a+b+c|=2，

∵当x=1时y＜0，

∴a+b+c=﹣2，

又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴当x=﹣1时y=0，即a﹣b+c=0，

x=3时y=0，即9a+3b+c=0，

解这三个方程可得：b=﹣1，a=，c=﹣．故③正确；

④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

当AB=BC=4时，

∵BO=3，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣，

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AB=AC=4时，

∵AO=1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣，

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AC=BC时，

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．所以④错误．

故答案为：①②③．