Question

3．已知：点O为直线AB上一点，∠COD=90°，射线OE平分∠AOD．

（1）如图①所示，若∠COE=20°，则∠BOD=40°．
（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试判断∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，∠BOD和∠COE的数量关系是否发生变化？并请说明理由．
（4）若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系：∠BOD+2∠COE=360°．

Answer 1

分析 （1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOE度数，根据∠AOC=∠AOE-∠COE、∠BOD=180°-∠AOC-∠COD可得∠BOD度数；
（2）由互余及角平分线得∠DOE=90°-∠COE=∠AOE，∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-2∠COE，最后根据∠BOD=180°-∠AOC-∠COD可得；
（3）由互余得∠DOE=90°-∠COE，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=180°-2∠COE，最后根据∠BOD=180°-∠AOC-∠COD可得；
（4）由互余得∠DOE=∠COE-90°，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=2∠COE-180°，最后根据∠BOD=180°-∠AOD可得；

解答 解：（1）∠EOD=∠COD-∠COE=90°-20°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=2×70°=140°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-140°=40°．
（2）∠BOD=2∠COE．理由如下：
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=90°-∠COE，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-2∠COE，
∵A、O、B在同一直线上，
∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD
=180°-90°-（90°-2∠COE）
=2∠COE，
即：∠BOD=2∠COE．
（3）∠BOD=2∠COE，理由如下；
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠BOD+2∠EOD=180°．
∵∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°，
∴2∠COE+2∠EOD=180°，
∴∠BOD=2∠COE；
（4）∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COE-90°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE-180°，
∴∠BOD=180°-∠AOD
=180°-2∠COE+180°
=360°-2∠COE，
即：∠BOD+2∠COE=180°．
故答案为：（1）40°，（4）∠BOD+2∠COE=360°．

点评 本题主要考查利用互余、互补及角平分线进行角的计算，求∠BOD时可逆向推理得到与∠COE间关系，灵活运用以上三点是关键．