【题目】如图,己知抛物线与轴相交于点,其对称轴与抛物线相交于点,与轴相交于点.
(1)求的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为.若新抛物线经过原点,且,求新抛物线对应的函数表达式.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)先利用函数关系式求出点A、B的坐标,再利用两点间的距离公式即可求得AB的长;
(2)根据A、B两点坐标结合三角函数可求得∠POA=∠ABC=45°,进而可判断点P在在一、三象限或二、四象限的角平分线上,分情况讨论,设点P坐标为(a,a)或(-a,a),利用顶点式表示出新抛物线的函数表达式,再将原点O的坐标代入计算即可.
解:(1)当x=0时,y=-1,
∴点A坐标为(0,-1),
∵
∴
∴点B坐标为(1,-2),
∴;
(2)∵点A坐标为(0,-1),点B坐标为(1,-2),
∴tan∠ABC=,
∴∠ABC=45°,
∵∠POA=∠ABC,
∴∠POA=45°,
∴点P在一、三象限或二、四象限的角平分线上,
当点P在一、三象限的角平分线上时,
设点P坐标为(a,a)
则设此时新抛物线的解析式为
∵新抛物线经过原点,
∴将(0,0)代入,得
解得(舍去)
∴,
即,
当点P在二、四象限的角平分线上时,
设点P坐标为(-a,a)
则设此时新抛物线的解析式为
∵新抛物线经过原点,
∴将(0,0)代入,得
解得(舍去)
∴,
即,
综上所述,新抛物线对应的函数表达式为或.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,小正方形格子的边长为1,Rt△ABC三个顶点都在格点上,请解答下列问题:
(1)写出A,C两点的坐标;
(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1;
(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并直接写出点C旋转至C2经过的路径长.
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【题目】如图,在中,,动点从点出发,沿以每秒个单位长度的速度向终点运动,过作,交于点,以为邻边作平行四边形,同时以为边向下作正方形,设点的运动时间为秒.
(1)点到直线的距离______________;(用含的代数式表示)
(2)当点落在落在上时,求的值;
(3)设平行四边形与正方形重叠部分的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值.
(4)设,当时,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,已知一次函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点(a,2).
(1)求a和k的值.
(2)若点P(m,n)在反比例函数图象上,且点P到y轴的距离小于1,请根据图象直接写出n的取值范围.
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【题目】如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与点B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中所有正确结论的序号是________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(k>0,x>0)的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E,若菱形OACD的边长为3,则k的值为_____.
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【题目】如图,在面积为的矩形中作等边,点,分别落在,上,将向右平移得到(点在的左侧), 再将,向右平移,使得与重合,得到(点在的左侧),且第二次平移的距离是第一次平移距离的倍.若,则阴影部分面积为_______.
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【题目】如图,的网格(每个小正方形的边长为1)在平面直角坐标系中,其两边恰在坐标轴上,若反比例函数()的图象与一次函数的图象恰好都经过其中的两个相同的网格点.
(1)求k的值:
(2)求一次函数的解析式;
(3)设点,过点A的直线l与y轴交于点B,若在()的图象上存在点C,使得,结合图象,直接写出点B纵坐标的取值范围.
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