Question

6．如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，则：①AD=CD，②$\sqrt{3}$BD=AB+CB，③点O是∠ADC平分线上的点，④AB²+BC²=2CD²，上述结论中正确的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=45°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，然后根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，判断出①正确；连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得点O在AC上，根据等腰三角形三线合一的性质可得点O是∠ADC平分线上的点，判断出③正确；再利用勾股定理求出AB²+BC²=2CD²，判断出④正确；点B的位置确定，②$\sqrt{3}$BD=AB+CB无法求出．

解答 解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴AD=CD，故①正确；
连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴点O在AC上，AC为⊙O的直径，
又∵AD=CD，
∴点O是∠ADC平分线上的点，故③正确；
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=2CD²，
∴AB²+BC²=2CD²，故④正确；
∵点B的位置不确定，
通过旋转△DAB，证明$\sqrt{2}$BD=AB+CB．
∴$\sqrt{3}$BD=AB+CB无法求出，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选B．

点评 本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．