Question

16．已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S_△OEF-S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）设出E、F点的坐标，可分别表示出△AOE和△BOF的面积，再根据反比例函数k的几何意义可证明结论；
（2）由条件可分别表示出E、F的坐标，用k可表示出S，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k的值．

解答 （1）证明：设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），△AOE与△FOB的面积分别为S₁，S₂，
由题意得${y_1}=\frac{k}{x_1}$，${y_2}=\frac{k}{x_2}$．
∴${S_1}=\frac{1}{2}{x_1}{y_1}=\frac{1}{2}k$，${S_2}=\frac{1}{2}{x_2}{y_2}=\frac{1}{2}k$．
∴S₁=S₂，即△AOE与△FOB的面积相等．
（2）解：∵OB=4，OA=3，且E、F为反比例函数图象上的两点，
∴E，F两点坐标分别为$E（{\frac{k}{3}，3}）$，$F（{4，\frac{k}{4}}）$，
如图，连接OE、OF，

∴${S_{△ECF}}=\frac{1}{2}EC•CF=\frac{1}{2}（{4-\frac{1}{3}k}）（{3-\frac{1}{4}k}）$，
∴${S_{△EOF}}={S_{矩形AOBC}}-{S_{△AOE}}-{S_{△BOF}}-{S_{△ECF}}=12-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k-{S_{△ECF}}=12-k-{S_{△ECF}}$，
∴$S={S_{△OEF}}-{S_{△ECF}}=12-k-2{S_{△ECF}}=12-k-2×\frac{1}{2}（{4-\frac{1}{3}k}）（{3-\frac{1}{4}k}）$，
∴$S=-\frac{1}{12}{k^2}+k$．
当$k=-\frac{1}{{2×（{-\frac{1}{12}}）}}=6$时，S有最大值，S_max=$\frac{-1}{4×（-\frac{1}{12}）}$=3．
即当k=6时，S有最大值3．

点评 本题主要考查反比例函数k的意义及二次函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标满足k=xy是解题的关键．