Question

8．求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|的最小值．

Answer 1

分析 观察已知条件可以发现，|x-a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．

解答 解：由已知条件可知，|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到1997的距离时，式子取得最小值．
∴当x=$\frac{1+1997}{2}$=999时，式子取得最小值，
此时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|=|999-1|+|999-2|+|999-3|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…|999-1996|+|999-1997|
=998+997+996+…+1+0+1+2+…+997+998
=2×（1+2+3…+997+998）
=2×$\frac{998+1}{2}×998$
=998×999
=997002．

点评 本题主要考查了绝对值的性质及数形结合求最值问题，利用已知得出x=999时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|有最小值是解答此题的关键．