Question

11．在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，点H是直线BC上一点．将线段FH绕点F逆时针旋转90°，得到线段FK，连接EK．

（1）如图1，求证：EF=FG，且EF⊥FG；
（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质证明△AEF≌△BGF，得到EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，根据三角形的内角和求得∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=90°，即EF⊥FG．  
（2）BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK；根据将线段FH绕点F逆时针旋转90°，得到线段FK，得到FH=FK，∠HFK=90°，所以∠KFE+∠EFH=90°，由∠EFG=90°，所以∠HFG+∠EFH=90°，得到∠KFE=∠HFG，证明△EFK≌△GFH，所以EK=GH．由△BFG是等腰直角三角形，所以BG=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG，得到BH=BG+GH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG+EK=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK，即BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK． 
（3）根据题意画出图形，然后根据（2）的方法直接得到结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD，E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，
∴AE=AF=FB=BG，∠A=∠B=90°，
在△AEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BG}\\{∠A=∠B}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGF，
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，
∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=90°，即EF⊥FG．  
（2）BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK；                 
证明：将线段FH绕点F逆时针旋转90°，得到线段FK，
∴FH=FK，∠HFK=90°，
∴∠KFE+∠EFH=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠EFH=90°，
∴∠KFE=∠HFG，
在△EFK和△GFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{FK=FH}\\{∠KFE=∠HFG}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH．
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG，
∴BH=BG+GH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG+EK=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK，
即BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK．              
（3）补全图形如图3：
              
BH=EK-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质．