Question

3．如图，AB为⊙O的直径，CA，CD为⊙O的切线．
（1）求证：∠DEB=∠ACO；
（2）AB，CD的延长线交于F，AC=6，AF=8，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连结AE，如图，根据切线长定理得CA=CD，∠ACE=∠DCE，则可判断△ACE≌△DCE，得到∠AEC=∠DEC，所以∠4=∠3+∠DEB，再证明∠2=∠5，而∠2=∠3，所以∠4=∠5+∠DEB，根据三角形外角性质有∠4=∠5+∠ACO，所以∠DEB=∠ACO；
（2）连结OD，如图，根据切线长定理和切线的性质得AC=CD=6，∠CAF=90°，∠ODF=90°，则可利用勾股定理计算出CF=10，所以DF=CF-CD=4，设⊙O的半径为r，则OD=r，OF=8-r，然后在Rt△ODF中利用勾股定理得到∴r²+4²=（8-r）²，解方程得r=3，则有BF=AF-AB=2．

解答 （1）证明：连结AE，如图，
∵CA，CD为⊙O的切线，
∴CA=CD，∠ACE=∠DCE，
在△ACE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{∠ACE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCE，
∴∠AEC=∠DEC，
∴∠4=∠OED，即∠4=∠3+∠DEB，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵CA为⊙O的切线，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠2=∠5，
而∠2=∠3，
∴∠4=∠5+∠DEB，
∵∠4=∠5+∠ACO，
∴∠DEB=∠ACO；
（2）解：连结OD，如图，
∵CA，CD为⊙O的切线，
∴AC=CD=6，∠CAF=90°，∠ODF=90°，
在Rt△ACF中，CF=$\sqrt{A{C}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴DF=CF-CD=10-6=4，
设⊙O的半径为r，则OD=r，OF=8-r，
在Rt△ODF中，∵OD²+DF²=OF²，
∴r²+4²=（8-r）²，解得r=3，
∴BF=AF-AB=8-6=2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理和切线长定理．