Question

20．E是?ABCD内一点，点F在CD上，连接BE，EF，∠BEF=2∠EFD，BE=2FD，CD=2EF，连接AE，ED
（1）如图1，求证：AE=2ED；
（2）如图2，延长BE交AD于点H，连接FH，∠HFD=∠EAD，试探究线段AH与EF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）通过相似三角形△ABE∽△EFD的对应边成比例得到结论；
（2）AH=2EF，延长AE交CD于点G，延长BH、CD交于点R，易证△EDF∽△GDE和△EDH∽△ADH，由相似三角形的性质可得AH=2ER，又因为ER=EF，所以AH=2EF．

解答 （1）证明：如图1，过点E作直线MN∥CD．则MN∥BA∥CD
∴∠MEF=∠EFD，∠ABE=∠BEM
∵∠BEF=2∠EFD，
∴∠ABE=∠EFD，
又∵BE=2FD，CD=AB=2EF，
∴$\frac{BE}{FD}$=$\frac{AB}{EF}$=2，
∴△ABE∽△EFD，
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{AB}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2ED；

（2）AH=2EF，理由如下：
如图2，延长AE交CD于点G，延长BH、CD交于点R．
∵∠HFD=∠EAD，∠FDH=∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴$\frac{FD}{AD}$=$\frac{DH}{DG}$，
∴FD•GD=AD•DH．
可证△EDF∽△GDE，
∴ED²=FD•GD  
∴ED²=AD•DH．
∵∠EDH=∠ADE，
∴△EDH∽△ADH，
∴∠DEH=∠DAE，
又∵∠AEH=∠EDR，
∴△EDR∽△AEH，
∴AH=2ER，
又∵ER=EF，
∴AH=2EF．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，对学生的解题能力要求很高，解题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形．