Question

1．如图1：已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等边△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂．
①线段OA₂=$\frac{3}{4}$a；
②若再以OA₂为边按逆时针方向作等边△OA₂B₂，A₂B₂与OB₁相交于点A₃，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，┉，△OA_nB_n，△OA₆B₆的周长$\frac{81}{64}$a．
③△OA_nB_n的面积₌$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²ⁿa²．
（2）等腰△OAB中，OA=OB=a，∠AOB=120°，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等腰△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂．OA₁=OB₁，∠A₁OB₁=120°，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，┉，△OA_nB_n，
①OA₂=$\frac{1}{4}$a．
②△OA₆B₆的周长=$\frac{2+\sqrt{3}}{64}$a．
③△OA_nB_n的面积=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹a²．
（3）等腰△OAB中，OA=OB=a，∠AOB=α，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等腰△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂，OA₁=OB₁，∠A₁OB₁=α，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，┉，△OA_nB_n，
①OA₂=（cos$\frac{α}{2}$）²a．
②△OA₆B₆的周长2（cos$\frac{α}{2}$）⁶a+2（sin$\frac{α}{2}$）⁶a．
③△OA_nB_n的面积（sin$\frac{α}{2}$）ⁿ•（cos$\frac{α}{2}$）ⁿ⁺¹a²．

Answer 1

分析 （1）①先根据OA₁⊥AB，OA=a即可得出OA₁的长，同理可得出OA₂的长；
②根据①中OA₂的长可得出OA₆的长，进而得出结论；
③根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）①直接根据在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出的长，同理可得出OA₁的长；
②同①求出OA₆的长，再求出A₆B₆的长，进而可得出结论；
③求出OA₇的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）①先根据等腰三角形的性质得出∠AOA₁=$\frac{α}{2}$，再由锐角三角函数的定义表示出OA₁的长，进而可得出OA₂的长；
②根据①的方法得出OA₆的长，进而得出A₆B₆的长，由此可得出结论；
③求出A_nB_n及OA_n+1的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）①∵△OAB是等边三角形，边长为a，OA₁⊥AB，
∴OA₁=OA•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∠BOA1=30°．
∵△△OA₁B₁是等边三角形，
∴∠A₁OB₁=60°，
∴OA₂⊥A₁B₁，
∴OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3}{4}$a．
故答案为：$\frac{3}{4}$a；

②由①得，OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²OA=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²a，
同理可得，OA₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₂=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³OA=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³a，
…，
OA₆=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₅=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁶OA=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁶a，
∴△OA₆B₆的周长=3OA₆=3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁶a=$\frac{81}{64}$a．
故答案为：$\frac{81}{64}$；

③∵由②可知，OA_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿa，
∴S_△OAnBn=$\frac{1}{2}$OA_n•$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA_n=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²ⁿa²．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²ⁿa²；
（2）①∵等腰△OAB中，OA=OB=a，∠AOB=120°，
∴∠OAB=$\frac{180°-120°}{2}$=30°．
∵OA₁⊥AB，
∴OA₁=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$a，
同理，OA₂=$\frac{1}{2}$OA₁=（$\frac{1}{2}$）²a=$\frac{1}{4}$a．
故答案为：$\frac{1}{4}$a；

②∵同①可得OA₆=$\frac{1}{2}$OA₅=（$\frac{1}{2}$）⁶a，
∴A₆B₆=2A₆A₇=2×OA₆×cos30°=$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a，
∴△OA₆B₆的周长=2OA₆+A₆B₆=2×（$\frac{1}{2}$）⁶a+$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a=$\frac{2+\sqrt{3}}{64}$a．
故答案为：$\frac{2+\sqrt{3}}{64}$a；

③∵同①可得OA_n=$\frac{1}{2}$OA_n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿa，
∴OA_n+1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹a，A_nB_n=2A_nA_n+1=2×OA_n×cos30°=$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿa，
∴△OA_nB_n的面积=$\frac{1}{2}$A_nB_n•OA_n+1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿa×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹a=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹a²；
故答案为：$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹a²；
（3）①∵等腰△OAB中，OA=OB=a，∠AOB=α，
∴∠AOA₁=$\frac{α}{2}$．
∵OA₁⊥AB，
∴OA₁=OA•cos$\frac{α}{2}$=a•cos$\frac{α}{2}$．
同理，OA₂=OA₁•cos$\frac{α}{2}$=a•（cos$\frac{α}{2}$）²．
故答案为：（cos$\frac{α}{2}$）²a；

②∵同①可得，OA₆=OA₅•cos$\frac{α}{2}$=（cos$\frac{α}{2}$）⁶a，A₆B₆=2（sin$\frac{α}{2}$）⁶a，
∴△OA₆B₆的周长=2OA₆+A₆B₆=2（cos$\frac{α}{2}$）⁶a+2（sin$\frac{α}{2}$）⁶a．
故答案为：2（cos$\frac{α}{2}$）⁶a+2（sin$\frac{α}{2}$）⁶a；

③∵同①可得OA_n+1=OA_n•cos$\frac{α}{2}$=（cos$\frac{α}{2}$）ⁿ⁺¹a，A_nB_n=2（sin$\frac{α}{2}$）ⁿa，
∴△OA_nB_n的面积=$\frac{1}{2}$A_nB_n•OA_n+1=（sin$\frac{α}{2}$）ⁿ•（cos$\frac{α}{2}$）ⁿ⁺¹a²．
故答案为：（sin$\frac{α}{2}$）ⁿ•（cos$\frac{α}{2}$）ⁿ⁺¹a²．

点评 本题考查的是几何变换综合题，涉及到等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．