【题目】如图,在ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE是角平分线,
∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
同理AB=AF.
∴AF=BE.
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=BE,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)解:作PH⊥AD于H,
∵四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,AB=4,
∴AB=AF=4,∠ABF=∠AFB=30°,AP⊥BF,
∴AP= AB=2,
∴PH= ,DH=5,
∴tan∠ADP= = .
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AD∥BC,根据平行线的性质得出∠DAE=∠AEB,根据角平分线的定义及等量代换得∠BAE=∠AEB,根据等角对等边得出AB=BE.同理AB=AF.故AF=BE.进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论;
(2)作PH⊥AD于H根据菱形的性质得出AB=AF=4,∠ABF=∠AFB=30°,AP⊥BF,根据含30角的直角三角形的边之间的关系得出AP的长,进而根据锐角三角函数的定义得出结论。
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和平行四边形的性质的相关知识点,需要掌握在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题.
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【题目】如图,△ABC与△DBE中,AC∥DE,点B、C、E在同一直线上,AC,BD相交于点F,若∠BDE=85°,∠BAC=55°,∠ABD:∠DBE=3:4,求∠DBE的度数.
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【题目】如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是( )
A.3
B.4
C.
D.
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【题目】已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在x=0和x=2时的函数值相等.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(﹣3,m),求m和k的值;
(3)把二次函数的图象与x轴两个交点之间的部分记为图象G,把图象G向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为M,请结合图象回答:当(2)中得到的直线与图象M有公共点时,求n的取值范围.
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【题目】如图,△ABC中,AD平分∠BAC,
(1)图①中,已知AF⊥BC , ∠B=500,∠C=600. 求∠DAF的度数.
(2)图②中,请你在直线AD上任意取一点E(不与点A、D重合),画EF⊥BC,垂足为F.已知∠B=α,∠C=β(β>a).求∠DEF的度数. (用α、β的代数式表示)
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【题目】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示:
(1)请填写下表:
平均数 | 方差 | 中位数 | 命中9环及以上的次数 | |
甲 | 7 | 1.2 | 1 | |
乙 | 5.4 |
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和方差相结合看;
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
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【题目】已知,点为平面内一点,于.
(1)如图1,直接写出和之间的数量关系 ;
(2)如图2,过点作于点,求证:;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点、在上,连接、、,平分,平分,若,,求的度数.
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【题目】延庆区由于生态质量良好、自然资源丰富,成为北京的生态涵养区,是其生态屏障和水源保护地.为降低空气污染,919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车.计划购买A型和B型两种公交车共10辆,其中每台的价格,年载客量如表:
A型 | B型 | |
价格(万元/台) | a | b |
年载客量(万人/年) | 60 | 100 |
若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求a,b的值;
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你设计一个方案,使得购车总费用最少.
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