【题目】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程:
已知:如图,直线l和直线l外一点A
求作:直线AP,使得AP∥l
作法:如图
①在直线l上任取一点B(AB与l不垂直),以点A为圆心,AB为半径作圆,与直线l交于点C.
②连接AC,AB,延长BA到点D;
③作∠DAC的平分线AP.
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB (填推理的依据)
∵∠DAC是△ABC的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB (填推理的依据)
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP
∴∠DAP=∠ABC
∴AP∥l (填推理的依据)
【答案】(1)详见解析;(2)(等边对等角),(三角形外角性质),(同位角相等,两直线平行).
【解析】
(1)根据角平分线的尺规作图即可得;
(2)分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得.
解:(1)如图所示,直线AP即为所求.
(2)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角),
∵∠DAC是△ABC的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB(三角形外角性质),
∴∠DAC=2∠ABC,
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP,
∴∠DAP=∠ABC,
∴AP∥l(同位角相等,两直线平行),
故答案为(等边对等角),(三角形外角性质),(同位角相等,两直线平行).
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【题目】如图,一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状(O为圆心),过A,B两点的切线交于点C,测得∠C=120°,A,B两点之间的距离为60m,则这段公路AB的长度是( )
A.10πmB.20πmC.10πmD.60m
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【题目】如图,点A是反比例函数y= 在第一象限图象上一点,连接OA,过点A作AB∥x轴(点B在点A右侧),连接OB,若OB平分∠AOX,且点B的坐标是(8,4),则k的值是( )
A.6B.8C.12D.16
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【题目】如图,一次函数(
)的图象与反比例函数
(
)的图象相交于点
,
.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)若直线(
)与
轴交于点
,
轴上是否存在一点
,使
,若存在,请求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“雾霾知多少”的专题调查括动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷调查的结果分为“A.非常了解”、“B.比较了解”、“C.基本了解”、“D.不太了解”四个等级,将所得数据进行整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图表,请你结合图表中的信息解答下列问题
等级 | A | B | C | D |
频数 | 40 | 120 | 36 | n |
频率 | 0.2 | m | 0.18 | 0.02 |
(1)表中m= ,n= ;
(2)扇形统计图中,A部分所对应的扇形的圆心角是 °,所抽取学生对丁雾霾了解程度的众数是 ;
(3)若该校共有学生1500人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人数约为多少?
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【题目】如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,∠CAB=30°,D是直径AB上一动点,连接CD并过点D作CD的垂线,与圆O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧),连接EC.已知AB=6cm,设A、D两点间的距离为xcm,C、D两点间的距离为y1cm,E、C两点间的距离为y2cm,小雪根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小雪的探究过程:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 5.2 | 4.4 | 3.6 | 3.0 | 2.7 | 2.7 |
|
y2/cm | 5.2 | 4.6 | 4.2 |
| 4.8 | 5.6 | 6.0 |
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、面图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值,请将表格补充完整:(保留一位小数)
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,y2的图象如图所示,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当∠ECD=60°时,AD的长度约为 cm.
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【题目】某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的环保知识竞赛,计分采用10分制,选手得分均为整数,成绩达到6分或6分以上为合格,达到9分或10分为优秀.竞赛后,两支代表队选手的不完整成绩分布如下所示:
(1)通过计算,补全表格;
(2)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级,所以七年级代表队成绩比八年级代表队好.但也有人说八年级代表队成绩比七年级代表队好.请你给出两条支持八年级代表队成绩较好的理由.
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【题目】合肥合家福超市为了吸引顾客,设计了一种促销活动:在三等分的转盘上依次标有“合”,“家”,“福”字样,购物每满200元可以转动转盘1次,转盘停下后,指针所指区域是“福”时,便可得到30元购物券(指针落在分界线上不计次数,可重新转动一次),一个顾客刚好消费400元,并参加促销活动,转了2次转盘.
(1)求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额;
(2)请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率.
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【题目】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后,发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中,电阻与温度成反例关系,且在温度达到30℃时,电阻下降到最小值;随后电阻承温度升高而增加,温度每上升1℃,电阻增加kΩ.
(1)求R和t之间的关系式;
(2)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过4kΩ.
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