Question

18．如图，是一辆吊车的示意图，小明站在距吊车底部点B为10米的A处看到吊车的起重臂顶端P处的仰角a为45°，已知吊车的起重臂底端C处与地面的距离（线段BC的长）为3.2米，起重臂CP与水平方向的夹角β为53.1°，小明的眼睛D处距地面为1.6米，求吊车的起重臂CP的长度和点P到地面的距离．（参考数据：sin53.1°≈0.8，cos53.1°≈0.6，tan53.1°≈$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 过点P作PE⊥AB于E，分别过点C和点D作CM⊥PE于M，作DN⊥PE于点N，在Rt△PCM中，得到CM=$\frac{PM}{tanβ}$=$\frac{x}{tan53.1°}$=$\frac{3}{4}$x，在Rt△PND中，得到ND=$\frac{PN}{tanα}$=$\frac{x+1.6}{tan45°}$=x+1.6，然后根据PE=PM+ME，求出PE的长．

解答 解：过点P作PE⊥AB于E，分别过点C和点D作CM⊥PE于M，作DN⊥PE于点N，如图所示，
则ME=BC=3.2m，EN=AD=1.6m，
因此MN=ME-EN=3.2-1.6=1.6（m）
设PM=x米，则PN=PM+MN=x+1.6（米）
在Rt△PCM中，CM=$\frac{PM}{tanβ}$=$\frac{x}{tan53.1°}$=$\frac{3}{4}$x．
在Rt△PND中，ND=$\frac{PN}{tanα}$=$\frac{x+1.6}{tan45°}$=x+1.6．
因为CM+ND=BE+EA=BA=10（米），所以$\frac{3}{4}$x+x+1.6=10，
解得，x=4.8．
因此PM=4.8米．
所以，在Rt△PCM中，PC=$\frac{PM}{sinβ}$=$\frac{4.8}{0.8}$=6米．
PE=PM+ME=4.8+3.2=8（米），
答：吊车的起重臂CP的长度为6米，点P到地面的距离为8米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，找到相关三角形是解题的关键．