Question

5．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点M是射线AB上一动点（点M不与点A、B重合），以点M为圆心，MA长为半径的圆交y轴于另一点C，直线MC与x轴交于点D，点E是线段BD的中点，射线ME交⊙M于点F，连接OF．
（1）若MA=2，求C点的坐标；
（2）若D点的坐标为（4，0），求MC的长；
（3）当OF=MA时，直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点M作MG⊥AC，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，然后求得AB的长，接下来证明△ABO∽△AMG，依据相似三角形的性质可求得AG=1.2，依据等腰三角形三线合一的性质可求得AC的长，从而得到点C的坐标
（2）过点M作MG⊥AC，垂足为G．先证明△DOC∽△BOA，从而可求得OC=3，然后由△ABO∽△AMG可求得AM的长，从而得到MC的长；
（3）①过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．先证明△MBD为等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的性质可证明MF⊥BD，从而得到四边形FMGH为矩形，然后再证明Rt△MAG≌Rt△FOH，从而得到AG=OH=$\frac{3}{5}$AM，可求得AM的长，由AM的长可求得AG、MG的长，故此可求得点M的坐标；②过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．先证明Rt△MAG≌Rt△FOH，于是得到∠MAG=∠FOH，接下来可证明四边形AOFM是平行四边形，故此可求得AM=6，从而可求得点M的坐标．

解答 解：（1）如图1所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G．

∵将x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+6得y=6，
∴A（0，6）．
∴OA=6．
∵将y=0代入y=$\frac{3}{4}$x+6得$\frac{3}{4}$x+6=0，解得：x=-8，
∴B（-8，0）
∴OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
∵∠KGA=∠BOA=90°，∠MAG=∠BAO，
∴△ABO∽△AMG．
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AO}$，即$\frac{2}{10}=\frac{AG}{6}$，解得：AG=1.2．
∵MG⊥AC，AM=MC，
∴AG=CG=1.2．
∴AC=2.4．
∴OC=OA-AC=6-2.4=3.6．
∴C（0，3.6）．
（2）如图2所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G．

∵∠OCD=∠MCA，∠MCA=∠MAC，
∴∠OCD=∠BAO．
又∵∠BOA=∠DOC，
∴△DOC∽△BOA．
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{4}{8}=\frac{OC}{6}$，解得OC=3．
∵由（1）可知AG=$\frac{1}{2}AC$，
∴AG=$\frac{1}{2}×（OA-OC）$=$\frac{3}{2}$．
∵由（1）可知△ABO∽△AMG，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AO}$，即$\frac{AM}{10}=\frac{\frac{3}{2}}{6}$，解得：AM=$\frac{5}{2}$．
∵MC=AM，
∴MC=$\frac{5}{2}$．
（3）①如图3所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．

∵由（2）可知△DOC∽△BOA，
∴∠MBD=∠MDB．
∴MB=MD．
又∵E是BD的中点，
∴ME⊥BD．
∴四边形FMGH为矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=OF}\\{MG=HF}\end{array}\right.$，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴AG=OH=$\frac{3}{5}$AM．
∵AG+GH+OH=6，
∴$\frac{3}{5}$AM+AM+$\frac{3}{5}$AM=6．
解得：AM=$\frac{30}{11}$．
∴AG=$\frac{30}{11}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{11}$，OH=$\frac{3}{5}$AM+AM=$\frac{3}{5}×\frac{30}{11}$+$\frac{30}{11}$=$\frac{48}{11}$．
∴点M的坐标为（-$\frac{24}{11}$，$\frac{48}{11}$）．
②如图4所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．

由①可知四边形MGHF为矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=OF}\\{MG=HF}\end{array}\right.$，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴∠MAG=∠FOH．
∴MA∥OF．
又∵MF∥AC，
∴四边形AOFM是平行四边形．
∴MF=AC=6．
∴AM=6．
∴GM=$6×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，AG=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴OG=OA-AG=6-$\frac{18}{5}$=$\frac{12}{5}$．
∴点M的坐标为（-$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了做坐标轴上点的坐标特点、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，证得Rt△MAG≌Rt△FOH、△DOC∽△BOA、△ABO∽△AMG是解题的关键．