Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，若AD=3，则AC等于（　　）

• A． 4
• B． 4.5
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠A=∠ABD，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠CBD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，然后求解即可．

解答 解：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD=4，
∴∠A=∠ABD，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$
∴AC=AD+CD=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，题目难度稍微复杂，熟记性质是解题的关键．