Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据互相垂直的两条直线的一次项系数的积互为负倒数，可得EF的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得K点坐标，N点坐标，根据线段的和差，可得KN的长，根据图形割补法，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+4=0}\\{4a+2b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$顶点D的坐标为（-1，$\frac{9}{2}$）；
（2）如图：

设BC的解析式为y=kx+b，将B，C点坐标代入，解得k=-2，b=4．
BC的解析式为y=-2x+4．
由EF⊥BC，得EF的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，将E点坐标代入，得$\frac{1}{2}$+b=2，解得b=$\frac{3}{2}$，
EF的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
过K作x轴的垂线交EF于N，设K（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），N（（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），x_F＜t＜x_E，
则KN=y_K-y_N=--$\frac{1}{2}$t²-t+4-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{5}{2}$，
所以S_△EFK=S_△KFN+S_△KNE=$\frac{1}{2}$KN（t+3）+$\frac{1}{2}$KN（1-t）=2KN=-t²-3t+5=-（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{29}{4}$，
即当t=-$\frac{3}{2}$时，△EFK的面积最大，最大面积为$\frac{29}{4}$，此时K（-$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$），
当K运动到（-$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$）时，△EFK的面积最大，最大面积为$\frac{29}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用配方法得出顶点坐标；利用互相垂直的两条直线的一次项系数的互为负倒数得出EF的解析式是解题关键，又利用了图形割补法得出二次函数，二次函数的性质．