Question

已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D，且CD=AB，求证：∠A=60°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O．构建全等三角形：△AOB≌△EOC，利用该全等三角形的性质和等腰三角形的性质来去∠A的度数即可．

解答：证明：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O．
则∠1=∠ACB，∠2=∠3．
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠3=∠ACB，
∴OB=OC，∠1=∠2，
∴OA=OE．
在△AOB与△EOC中，

OA=OE ∠AOB=∠EOC OB=OC

，
∴△AOB≌△EOC（SAS）．
∴∠BAC=∠CED，∠5=∠4=∠3，AB=CE
∵CD=AB，
∴CD=CE，
∴∠CED=∠CDE=∠3+∠6，
又∵∠DCE=∠5+∠7，∠6=∠7，
∴∠CED=∠CDE=∠DCE=60°，
∴∠BAC=∠CED=60°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角、对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．