Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段MN的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM=90°，从而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后证得△COM∽△CBA；
（2）利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM的长．

解答：（1）证明：∵沿直线MN对折，使A、C重合．
∴A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，
∴∠COM=90°．
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA；

（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴OC=5，
∵△COM∽△CBA，
∴

OC

BC

=

OM

BA

，
∴OM=

15

4

，
∴MN=2OM=

15

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形．