Question

如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F，若正方形的边长为4，AE=x，BF=y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出当x为何值时，y取最大值，最大值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,正方形的性质

专题：

分析：（1）由条件可以得出∠A=∠B，∠AED=∠EBF，从而得出△ADE∽△BEF；可以得出

AE

BF

=

AD

BE

，然后将AE=x，BF=y的值代入等式就可以表示出y的代数式；
（2）根据（1）中的函数关系式可得出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=AB，
∴∠ADE+∠DEA=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF；
∴

AE

BF

=

AD

BE

．
∵AD=AB=4，
∴BE=4-x，
∴

x

y

=

4

4-x

，
∴y=-

1

4

x²+x（0＜x＜4）．

（2）∵由（1）知，y=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，
∴当x=2时，y有最大值，y的最大值为1．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质以及二次函数的应用等知识点是解答此题的关键．